Скочи на садржај

Једначине и неједначине у вези са сабирањем и одузимањем

Једнакост која садржи бројевну променљиву назива се једначина. Променљива која се налази у једначини назива се непозната, и најчешће се обележава словом x.

Пример једначине:

2+x=5 (непознати сабирак)

x-2=0 (непознати умањеник)

5-x=3 (непознати умањилац)

Решење једначине је сваки број који, замењен у једначини, једначину преводи у тачну једнакост.

 

Сетимо се поступака решавања једначина…

У шестом разреду једначине ћемо решавати мало другачије…

Али погледајмо најпре следећи пример из живота који ће нас довести и до једног познатог правила у математици!

Замислимо да имамо једну вагу на чији смо леви тас ставили две јабуку масе по 100g а на десни тас два тега од по 100g. Вага је у равнотежи.

Ако сада склономо са левог таса једну јабуку, вага више није у равнотежи.

Ако затим склономо са десног таса један тег, вага ће опет бити у равнотежи.

Ако сада на вагу додамо лево две исте јабуке, а десно два иста тега, вага ће опет бити у равнотежи.

Долазимо до следећег закључка:

Додавањем целог броја c на обе стране тачне једнакости а=b добијамо тачну једнакост

а+c=b+c.

Пишемо:

а=b / +c

а+c = b+c

Одузимањем целог броја cа од обе стране тачне једнакости a=b добијамо тачну једнакост

аc=bc.

Пишемо:

а=b / -c

а-c = b-c

Дакле, ако исти број додамо обема странама једначине или од њих одузмемо исти број, добијамо нову једначину која има иста решења као и полазна једначина.

Овај закључак ћемо користити приликом решавања једначина једначина у вези са сабирањем и одузимањем у скупу целих бројева.

Пример 1: Решити једначину x+4=-3.

Решење:

x+4 = -3 / -4

x+4-4 = -3-4

x = -7  (-7+4=-3  Т)

У општем случају, ако је дата једначина x+а=b имамо

x+а = b / -a

x+a-a = b-a

x = b-a

Тиме смо извели правило које већ користимо: непознати сабирак једнак је разлици збира и познатог сабирка.

 

Пример 2: Решити једначину x-4=-6.

Решење:

x-4 = -6 / +4

x-4+4 = -6+4

x = -2  (-2-4=-6  Т)

У општем случају, ако је дата једначина x-а=b имамо

x-а = b / +a

x-a+a = b+a

x = b+a

 

Тако долазимо до правила: непознати умањеник једнак је збиру разлике и умањиоца.

 

Пример 3: Решити једначину 3-x=5.

Решење:

3-x = 5 / +x

3-x+x = 5+x

3 = 5+x / -5

3-5 = 5+x-5

-2 = x  ( 3-(-2)=5  Т)

У општем случају, ако је дата једначина а-x=b имамо  a-x = b / +x

a-x+x = b+x

a = b+x / -b

a-b = b+x-b

a-b = x

Тако долазимо до правила: непознати умањилац једнак је разлици умањеника и разлике.

 

Закључујемо: једначине са сабирањем и одузимањем увек имају решење у скупу целих бројева!

У скупу природних бројева то није било тако. На пример, једначина 2-x=5 није имала решење у скупу природних бројева, а у скупу целих бројева њено решење је -3.

 

Вратимо се поново на примере 1, 2 и 3.

Шта закључујеш?

Преласком са једне на другу страну једнакости број мења свој знак.

Задатак 1: Реши једначинe: а) lxl=7    б) lxl=0    в) lxl=-6

Решење:

а) x=7 или x=-7,

б) x=0,

в) нема решења.

Задатак 2: Реши једначинe: а) lx-3l=7    б) lx-3l=0    в) l1-xl=-6

Решење:

а) x-3=7 или x-3=-7, па је x=10 или x=-4

б) x-3=0, па је x=3

в) нема решења.

 

Неједначине  у вези са сабирањем и одузимањем целих бројева

Неједнакост која садржи бројевну променљиву назива се неједначина. Променљива која се налази у неједначини назива се непозната, и најчешће се обележава словом x.

Пример неједначине:

2+x<5 (непознати сабирак)

x-2>0 (непознати умањеник)

5-x≤3 (непознати умањилац)

Решење неједначине је сваки број који, замењен у неједначини, неједначину преводи у тачну неједнакост.

Сетимо се поступака решавања неједначина…

Слично као и код једначина важи:

Додавањем целог броја c на обе стране тачне неједнакости а<b добијамо тачну неједнакост а+c<b+c.

Пишемо:

а<b / +c

а+c < b+c

Одузимањем целог броја c од обе стране тачне неједнакости a<b добијамо тачну једнакост      аc<bc.

Пишемо:

а<b / -c

а-c < b-c

Важи и следеће: ако исти број додамо обема странама неједначине или од њих одузмемо исти број, добијамо нову неједначину која има иста решења као и полазна неједначина.

Овај закључак ћемо користити приликом решавања неједначина једначина у вези са сабирањем и одузимањем у скупу целих бројева.

Пример 1: Решити неједначину x+3>-1.

Решење:

x+3 > -1 / -3

x+3-3 > -1-3

x > -4

Скуп решења дате неједначине је x ∈ {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.

Пример 2: Решити неједначину x-5≤-2.

Решење:

x-5 ≤ -2 / +5

x-5+5 ≤ -2+5

x ≤ 3

Скуп решења дате неједначине је x ∈ { … , –4, –3,-2,-1 0, 1, 2, 3}.

Пример 3: Решити неједначину -1-x<-2.

Решење:

-1-x < -2 / +x

-1-x+x < -2+x

-1 < -2+x / +2

-1+2 < -2+2+x

1 < x

Скуп решења дате неједначине је x ∈ { 2, 3, 4, 5, 6, … }.

 

Закључујемо: скуп решења неједначине са сабирањем и одузимањем у скупу целих бројева увек постоји и има бесконачно много чланова!

Скуп решења сваке неједначине са сабирањем или одузимањем описује се са x>а или са x<а, па дата неједначина има бесконачно решења. Ово је још једна разлика у односу на скуп природних бројева. Неке неједначине, попут x+5>6, у скупу природних бројева имају бесконачно много решења, док постоје и оне које имају само коначно много решења, попут x+5<7.

Задатак 1: Реши неједначинe: а) lxl≤3    б) lxl>1   в) 2≤lxl≤6.

Решење:

а) x ∈ {0, ±1, ±2, ±3}  

б) x ∈ {±2, ±3, ±4, ±5, … }

 

в) x ∈ {±2, ±3, ±4, ±5, ±6 }

Задаци за вежбање

6.1.3. Једначине и неједначине у вези са сабирањем и одузимањем целих бројева – задаци за вежбу

 

Провери своје знање

На сајту http://www.ezbirka.math.rs/  укуцај број теста 3556. Пажљиво прочитај и реши све задатке, укуцај своје име и презиме и мејл адресу и пошаљи их својој наставници. Ускоро ћеш добити одговор колико задатака си тачно решио/ла.

 

Претходно: Следеће:
Сабирање и одузимање Множење и дељење
Advertisements
%d bloggers like this: