Скочи на садржај

Скуп природних бројева

Скуп природних бројева означава се са N . Од сваког природног броја постоји већи, па зато није могуће побројати све природне бројеве, него наводимо само првих неколико елемената.

N = {1,2,3,4,5,…}

Ако скупу природних бројева додамо и нулу добијамо проширени скуп природних бројева који се означава са N0. Наравно, и овај скуп је бесконачан.

N0={0,1,2,3,4,5,…}

N0={0}∪N

 

Бројевна полуправа

Скуп N0 графички представљамо тако што нацртамо једну полуправу, почетној тачки полуправе придружимо број 0, а затим распоредимо неколико тачкица, при чему првој од 0 доделимо број 1, другој број 2, трећој 3, итд. Растојање од 0 до 1 називамо јединична дуж. Стрелица указује на бесконачност скупа природних бројева.

Уређење у скупу N

Скуп природних бројева је уређен. То значи да се за свака два природна броја може одредити који је мањи, тј. већи.

Да је број a мањи од броја b записујемо са а<b, а тада је и b>a.

Користимо и релације ≤ (мање или једнако) и ≥ (веће или једнако).

 

Најмањи елемент скупа N је број 1.

Сваки природан број је већи или једнак 1.

Најмањи елемент скупа N0 је број 0.

Сваки природан број је већи од 0.

Скуп N  нема највећи елемент. Од сваког природног броја постоји већи број.

Математичким језиком речено, скупови  N и No су ограничени одоздо, а нису ограничени одозго.

 

Претходник и следбеник

Претходник датог броја је број који је за 1 мањи од њега, а следбеник датог броја је број који је за 1 већи од њега.

Претходник и следбеник неког броја су суседи датог броја.

Ако је n дати број, број n-1 је његов претходник, а n+1 његов следбеник.

 

Пример:

  • Претходник броја 8 је 7, а следбеник је 9.
  • У скупу N претходник броја 1 не постоји, а следбеник је 2.
  • У скупу N0 претходник броја 0 не постоји, а следбеник је 1.

 

У скупу No дефинисане су четири рачунске операције: сабирање, одузимање, множење и дељење.

Множење и дељење су операције већег приоритета у односу на сабирање и одузимање.

 

Сабирање и одузимање


 

 

 

Број c, збир бројева a и b, налазимо одбројавањем од броја a још b јединица. Самим тим, сабирање у скупу No је увек изводљиво.

Број c је разлика бројева a и b, ако је а=b+c, при чему је аb.

Одузимање у скупу No није увек изводљиво (1-3=?).

 

 

 

 

Операција сабирања има следеће особине:

a+b=b+a (комутативност сабирања)

a+(b+с)=а+(b) (асоцијативност сабирања)

а+0=0+a=a (нула не утиче на збир)

 

Ако су a, b и c произвољни природни бројеви, тада су тачна наредна тврђења.

Акo je a+b=c, тада је a=cb и  b=c.

Акo je a=c-b, тада је a+b=c.

Aкo je b=c-a, тада је a+b=c.

 

На основу ових својстава операција сабирања и одузимања изведена су и правила за решавање једначина и неједначина у којима је непознат сабирак, умањеник или умаљилац.

a+x = b, тада је x = ba

x-a = b, тада је x = a+b

a-x = b, тада је x = a-b

 

Множење и дељење

 

 

 

 

И операција множења дефинише се преко операције сабирања: m+m=2m, 2m+m=3m, …

Множење је увек изводљиво у скупу No.

Ако постоји број  kN0, такав да је n·k=m, тада је k количник бројева m и n.

Другим речима, количник бројева m и n је број којим треба помножити број n да би се добио број m.

Дељење није увек изводљиво у скупу N0 (количник 3:2 не постоји, јер не постоји природан број такав да је 2·k=3).

0:m=0  (јер је m·0=0)

m:0=?  (дељење нулим није дефинисано)

 

 

 

 

 

 

 

Операција множења има следеће особине:

a∙b=b∙a (комутативност множења)

a∙(b∙с)=а∙(b∙с) (асоцијативност множења)

а∙1=1∙a=a (јединица не утиче на производ)

а·0=0·а=0 (производ било ког броја и нуле је нула)

а·(b+c)=b+a·c (дистрибутивност множења у односу на сабирање)

a·(bc)=ba·c, уз услов b≥c (дистрибутивност множења у односу на сабирање)

 

Ако су a, b и c произвољни природни бројеви, тада су тачна наредна тврђења.

Aкo je a·b=c, тада је a=c:b и  b=c:а.

Aкo je a=c:b, тада је a·b=c.

Aкo je b=c:a, тада је a·b=c.

 

На основу ових својстава операција сабирања и одузимања изведена су и правила за решавање једначина и неједначина у којима је непознат сабирак, умањеник или умаљилац

a·x = b, тада је x = b:a

x:a = b, тада је x = a·b

a:x = b, тада је x = a:b

 

Aко се број x повећа за 2, то записујемо са x+2.

Aко се број x смањи за 2, то записујемо са x-2.

Aко се број x повећа 2 пута, то записујемо са 2∙x или скраћено 2x.

Aко се број x смањи 2 пута, то записујемо са x:2.

 

Aко се један сабирак повећа за n, тада се и збир повећа за n.

Aко се један сабирак смањи за n, тада се и збир смањи за n.

 

Aко се умањеник повећа за n, тада се и разлика повећа за n.

Aко се умањеник смањи за n, тада се и разлика смањи за n.

 

Aко се умањилац повећа за n, тада се разлика смањи за n.

Aко се умањилац смањи за n, тада се разлика повећа за n.

 

Aко се један чинилац повећа n пута, тада се и производ повећа n пута.

Aко се један чинилац смањи n пута, тада се и производ смањи n пута.

 

Aко се дељеник повећа n пута, тада се и количник повећа n пута.

Aко се дељеник смањи n пута, тада се и количник смањи n пута.

 

Aко се делилац повећа n пута, тада се количник смањи n пута.

Aко се делилац смањи n пута, тада се количник повећа n пута.

 

Aко се један чинилац повећа m пута, a други повећа n пута, тада се производ повећа mn пута.

Aко се један чинилац смањи m пута, a други смањи n пута, тада се производ смањи mn пута.

 

Aко се и дељеник и делилац повећају n пута, тада се количник не мења.

a:b = (n) : (b·n)

Aко се и дељеник и делилац смање n пута, тада се количник не мења.

a:b = (a:n) : (b:n)

 

Приоритет рачунских операција

Ако се у изразу појављује више рачунских операција најпре се множи и дели, а потом сабира и одузима.

Пример:           25-8+2=17+2=19

25-8·2=25-16=9

35:5·7=7·7=49

 

Ако се у изразу појављују заграде, најпре се израчунава вредност у загради.

Пример:           25-(8+2)=25-10=15

(25-8)·2=17·2=34

35:(5·7)=35:35=1

Изрази са променљивом

Изрази у којима се појављују бројеви и рачунске операције називају се бројевни изрази. На пример (3·4-3)+2 или 2·8+3, …

Два бројевна израза повезана знаком једнакости чине бројевну једнакост која може бити тачна или нетачна. На пример 3·4+5=18-1 или 3:1+4=9.

Два бројевна израза повезана неким од знакова неједнакости (<,>,≤,≥) чине бројевну неједнакост која такође може бити тачна или нетачна. На пример  7·4+5>18-1 или 3:1+4>9.

У формулама за обим и површину фигура свако од слова узима неку вредност у скупу природних бројева, односно може се мењати, па се назива променљива. Изрази у којима се поред бројева и рачунских операција јавља и променљива називају се изрази са променљивом. На пример  2·x+1, x:3-4+y, …  Ако у овим изразима уместо x, односно x и y упишемо неку вредност из скупа Nдобићемо бројевни израз. Он ће, по правилу, представљати неки број, кажемо вредност израза за изабрану вредност променљиве.

 

Означимо са а(x) израз у коме се појављује променљива x, на пример а(x) = 2·x+1. Тада је а(4)=9 и кажемо да израз а(x) има вредност 9 кад x има вредност 4.

 

Пример: Израчунај вредност израза а(x)=2·x-4 за: а) x=5, б) x=6, в) x=0, г) x=1.

Решење: За x=5 je a(5)=2·54=6. За x=6 je a(6)=2·64=8.

Јасно за x=0 или x=1 није могуће израчунати вредност израза.

Дакле, вредност датог израза није могуће израчунати за сваки природан број.

 

Пример: Израчунај вредност израза 4·x+1 и 7·x-17 за све природне бројеве мање од 10. Користити таблицу.

Из таблице можемо закључити да два израза могу имати исту вредност за неку вредност променљиве, тј. 4·x+1 = 7·x-17 за x=6. Једнакост 4·x+1=7·x-17 представља једначину и њено решење је управо x=6.

 

Претходно: Следеће:
Скуповне операције Скупови – провера знања

 

Advertisements
%d bloggers like this: